Partie C - Cas général

Soit  \(n\) , avec \(n\geqslant 3\) , le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle de centre \(\text O\) et rayon \(1.\) De manière analogue au cas des hexagones, on considère les triangles isocèles \(\text{AOB}\) et   \(\text{A'OB'}\) .
1. Expliquer pourquoi la mesure en degrés de l'angle \(\widehat{\text{IOA}}\) s'exprime, en fonction de  \(n\) , par \(\alpha(n)=\dfrac{180°}{n}\) .
2. En déduire \(\text{AB}=2 \text{sin} (\alpha(n))\) puis \(\text{A'B'}=2 \dfrac{\text{sin}(\alpha(n))}{{\text{cos}(\alpha(n))}}\) .
3. À l'aide d'un tableur, retrouver l'encadrement d'Archimède du nombre  \(\pi\) . Les fractions pourront être approchées par des nombres décimaux.